好雷喔諾數

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前言

流體力學是一門以巨觀物理量描述流體行為的學問，包括了描述流體靜止情形下的流體靜力學（hydrostatics）以及研究流體運動規律的流體動力學（fluid dynamics）。相較於力學與電磁學，流體力學在國高中甚至是大學物理系的課程中，都是著墨較少的領域，但其對於日常生活卻有相當大的影響——從自來水與瓦斯的管線運輸、天氣預報的準確性、到飛機和船舶的航行，都與流體力學脫不了關係。本文將對於流體動力學中一個重要的參數：雷諾數（Reynolds number, Re）簡單介紹，展示流體力學在各種尺度與條件下的重要性。 

(WARNING OF MATH)

流體力學方程

流體中的粒子密度高達約每立方公分 1022 個粒子，若要以微觀的角度分析每個粒子的力學是不切實際的。因此如同在處理熱力學中，我們會以巨觀的物理量來描述流體的狀態（如速度、壓力、密度、溫度等等）。而因為流體的粒子密度高，分子間的交互作用是非常重要的，因此也不能像是處理氣體時一樣用理想氣體（無交互作用的分子們）這麼粗略的近似。總而言之在經過一番努力後會得到描述流體的納維－斯托克斯方程（Navier-Stokes equation，簡稱NS方程）
$$
\displaystyle{
\left( \frac{\partial}{\partial t} + \vec u \cdot \nabla \right)
\vec u
= \frac{\vec f}{\rho}
-\frac 1 \rho \nabla\left( P-\frac\mu 3\nabla\cdot\vec u \right)
+\frac \mu \rho \nabla^2 \,\vec u}
$$
其中$\vec u = \vec u(x,y,z,t)$ 是流體的速度、$P$ 是壓力、$\rho$ 是密度、$\mu$ 是黏度（viscosity，描述流體黏滯性的參數）。可以看出這是一個非常複雜的非線性偏微分方程......總之就是基本上解不出來[1]——只有極少數簡單的情況可以求解析解，其餘只能靠數值模擬，而這又是一個稱作計算流體力學（Computational Fluid Dynamics, CFD）的大坑。

雖然方程式又長又醜又難解，科學家們還是可以從中觀察出一些有用的結論。舉例來說，在NS方程式中的各項單位皆為加速度，而在一個流體力學系統中，特徵長度 $D$ 與特徵速度 $V$ 是描述系統規模的重要參數。「特徵」表示在此系統中牽涉到的長度與速度尺度，例如在討論魚的流體力學特徵長度是或許是數十公分；而一艘船的特徵長度就可以達到數十公尺。因為 $V^2/D$ 的單位正是加速度，若將 NS 方程式整個除以 $V^2/D$，可以將其變為一無因次（dimensionless）方程。而方程式中相關的各種物理量（壓力、密度、速度、時間）也會藉著 $V$ 與 $D$ 變成對應的無因次量，例如速度 $\vec u$ 將變為 $\vec u /V$（以特徵速度為單位的速度）。對於不可壓縮流體來說（$\rho$ 是常數），可得到無因次化後的 NS 方程
$$
\left(
\frac \partial {\partial t'} + \vec u' \cdot \nabla'
\right) \vec u'
 =
\vec f'
-\nabla ' P'
+ \frac{\mu}{\rho VD} \nabla' ^2 \,\vec u'
$$
其中有一撇的物理量都是無因次化後的量（細節請見[2]）。

在這個方程式中，除了各種被 $V$ 與 $D$ 無因次化的物理量外，$\nabla^2\,\vec u'$ 的係數是 $\frac\mu {\rho VD}$（當然也是無因次的），這一項被定義為雷諾數（Reynold's Number, Re）的倒數，即
$$
\text{Re} \equiv \frac{\rho VD}{\mu}
$$

(END OF WARNING)

 

雷諾數

雷諾數以英國物理學家奧斯包恩・雷諾（Osborne Reynolds）命名，其描述了流體慣性力與黏滯力的比值。這可以從上段的定義感覺出來：分子是密度與速度相乘，就像是動量的感覺，描述了流體有多大的慣性；而分母為黏滯係數 $\mu$，是流體黏滯性的衡量。在無因次的 NS 方程式中，可以發現只要雷諾數固定，不同流體力學系統是由相同的方程式描述的！

如果要設計一台飛機，升力、空阻、機翼與各控制面的受力都會是非常重要的，總不能每要測試一個設計就造一台飛機飛上天去測試（錯誤的設計可能根本飛不起來）。這時風洞就派上用場了，若能夠造一台小的模型機，並利用風洞製造適當的風速，使系統的雷諾數與實際飛行時相似，就能夠在實驗室中進行測量了（只需要最後把各種量測的物理量經由 $V$ 與 $D$ 適當的放大回去，就能得到真實飛機飛行時的參數。）這也是為什麼風洞對於航空器、汽車、建築物的設計如此重要。

Cessna 182 model-wingtip-vortex
風洞中模型機展現由機翼翼尖造成的亂流（BenFrantzDale / CC BY-SA）


各種雷諾數

如同前段所述，雷諾數是衡量流體慣性與黏滯性的指標，低雷諾數表示系統中黏性主導，流體以層流為主；而當雷諾數越來越高，黏性的影響越來越小，最終流體將呈現出亂流。以下簡單給出幾個不同雷諾數的系統，以及相對應的流體行為特徵。

  • 低雷諾數 （<<1）

    細菌在水中移動的雷諾數大約只有 10-4 ~ 10-2，相比於一般魚類游泳（Re: 104~106）小了非常多，因此細菌是無法用擺尾滑手這種我們常見的游泳方式移動的。在如此低雷諾數的情形下，只能利用鞭毛螺旋狀的轉動來前進[3]，也是小時候學過「鞭毛能幫助移動」的原因。關於游泳找到了一篇文章探討各種生物游泳時的雷諾數，有興趣可參考[4]。

    鞭毛轉動的「游泳」方式（圖擷取自[3]）

  • 中雷諾數（~100）

    在約 80~100 的雷諾數時，會觀察到卡門渦街（Kármán vortex street）的現象，也就是流體在流經障礙物後會在其後產生一系列交錯排列的漩渦，如下圖。這是一個味噌湯級的現象（表示能在味噌湯中看到，引申為生活中不時可以觀察到的意思）
    Vortex-street-animation
    卡門渦街（Cesareo de La Rosa Siqueira）

  •  高雷諾數（>104）

    當雷諾數超過104 時，通常認為是紊流（turbulence）出現的區域，此區域的流體力學將變的非常複雜，卻偏偏是大部分系統所在的地方（游泳、飛機、輪船、天氣⋯⋯）。因為紊流就是亂，好像就比較沒有上面那種有系統性的漂亮圖案或現象。以一個和飛機產生的尾流有關的新聞結束這回合吧，大家如果在天上亂逛記得要和大飛機保持安全距離喔(?)。


Reference

[1] 如果不相信可以試著解解看，不小心解出來的話會有人給你一百萬美金，見千禧年大獎難題。

[2] 細節請參考維基百科的推導。

[3] Eric Lauga, Bacterial hydrodynamics (2015). arXiv: 1905:02184

[4] Baumgart, J., Friedrich, B. Swimming across scales. Nature Phys 10, 711–712 (2014). 連結

 

作者介紹是放在這嗎(對 很讚喔)

PK

曾參加2015/2016兩年的物理奧林匹亞，目前是物理系學生。因為喜歡航空，所以寫的文章不時會不小心出現飛機什麼的。比起做物理或許還比較適合玩踩地雷，推薦大家來玩。科普文章菜雞QQ，歡迎大家給文章些建議。