早從古希臘時期一直到伽利略的年代，研究自然科學的人都意識到使用數學描述自然可以有效且方便的量化種種現象，從紀錄地表上物體運動軌跡，到利用幾何圖形來描述天體運行。但當人們試圖討論背後的原理時，就開始訴諸直覺甚至怪力亂神，其中最著名的就是亞里斯多德 (Aristotle，384-322 BC) 的學說。
筆者認為物理研究正式從「自然哲學」往「自然科學」跨出劃時代的一步就是靠著牛頓 (Isaac Newton，1643-1727) 的著作——《自然哲學的數學原理》（以下簡稱為《原理》）。《原理》的內容架構模仿了歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》，先列出了幾項定義 (definition) 以及公理 (axiom)，其中《原理》一開始列出的公理就是牛頓的三條運動定律（《原理》中使用的詞是law而非axiom）：第一條描述了慣性座標系、而第二跟第三條給出物體在慣性座標系中的運動定律，後續衍伸出的引理 (lemma)、定理 (theorem) 以及系理 (corollary) 都是根據公理就能夠推導出來的。
牛頓厲害的地方不只是單純寫出公理化的陳述而已。大家或許都聽說過蘋果掉下來的故事，但故事並不是看到蘋果掉下來就提出萬有引力這麼簡單而已，這個故事真正重要的地方是牛頓發現月亮繞地球轉跟蘋果會掉到地面本質上應該是同一件事情，應該是能夠基於相同的公理做出的結果，因此他才成功的用牛頓運動定律跟萬有引力定律同時解釋地表上物體運動以及星體運動的現象。這就是公理化強大的地方：能夠藉由提出可能的 fundamental theory，將看似不同的現象整合成同一個物理理論的必然結果，甚至可能藉此發現可能存在但尚未被實驗證實的現象。
物理終究是在研究自然現象，科學發展史上也不斷出現舊理論預測外的新發現，所以我們究竟能否做到將所有物理公理化呢？希爾伯特 (David Hilbert，1862-1943) 於1900年的第二屆國際數學家大會上提出了23個數學上尚未解決的問題，其中第六個問題就是關於公理化物理。希爾伯特自己對於這個問題做出了非常多的貢獻，特別是試圖為20世紀之後的新物理給出自洽的數學模型：用微分幾何給出廣義相對論的模型、使用希爾伯特空間 (Hilbert space) 給出量子力學的數學表述等等。也有其他數學家持續在公理化物理的領域做出貢獻，比方說柯爾莫果洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903-1987) 在1933年公理化機率論，對物理上需要用到統計模型的理論相當重要；懷特曼 (Arthur Wightman，1922-2013) 為公理化量子場論提出的懷特曼公理 (Wightman axioms)。
能將整個物理公理化的前提是物理理論之間必須要自洽，但物理發展到現在還沒找出所謂的統一理論 (unified theory)，特別是關於量子場論和廣義相對論之間的不相容，還沒有提出完整的解決辦法，所以目前希爾伯特第六問題依舊是尚未被解決的問題。
作者介紹
姚勁宇
曾參加2019年的APhO跟IPhO。
物理跟數學都不太好，加在一起勉勉強強還可以，所以在物理的部落格寫了一個數學的專欄。