前言
飛機，airplane，Flugzeug，就是那個能在十公里的高空用時速九百公里飛行的巨大金屬管，好酷喔，unbelievable！相信許多人都曾好奇飛機能夠飛行的原因，而小時候老師總是會搬出一套白努力的說法，聽了半信半疑，讀了好像白努力。現在就讓我們來看看這個廣為流傳的說法，再介紹一些對機翼升力的解釋。
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| 飛機，airplane，Flugzeug（筆者攝） |
白努力定律（Bernoulli's law）
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| 白努力定律示意圖（Wikipedia） |
在開始解釋理論之前，先介紹一下流體力學中十分重要的「白努力定律」。考慮如上圖中的一條水管，兩段淺藍色區域是流線上兩處的流體，而白努力定律描述了這兩處流體高度（ $h_1, h_2$）、速度（$v_1, v_2$）、以及壓力（$p_1, p_2$）之間的關係：
$$ p_1 + \frac 1 2 \rho v_1^2 + \rho gh_1 = p_2 + \frac 1 2 \rho v_2^2 + \rho gh_2. $$
事實上這來自於流體的能量守恆，等式中的三項分別對應到做功、動能、以及重力位能。即對於一流線而言， 壓力、動能、與位能的和為一常數。在高度相近的情形下，壓力與速率會成反相關，這也是在下段的論證中會用到的想法。
從白努力到機翼
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| 白努力定律與機翼（Wikipedia） |
如何用白努力定律解釋升力的來源呢？
首先考慮從機翼左方均勻流向機翼的空氣，沿著機翼上緣和下緣流過的空氣會行經不同長度的路徑（機翼上緣的路徑較長）。而最終分成兩路的氣流將會同時到達機翼後緣，表示機翼上緣的氣流流速較下緣快。因此根據白努力定律，下緣的氣流因為較慢的速度，相對於上緣的氣流會有更大的壓力，而產生向上的淨力。
為了看出這個理論的合理性，我們以一架常見的小飛機 Cessna-172 做個簡單的計算：
- 翼展($D$)：11.0 m
- 機翼面積($A$)：16.2 m2
- 機翼前後方向的寬度($L$)：1.62 m
- 最大起飛重量($M$)：1160 kg
- 最快巡航速度($V$)：230 km/h = 63.9 m/s
先來求機翼上下緣氣流的路徑差（$\Delta L$）與壓力差（$\Delta P$）之間的關係：
對於上下兩條流線的氣流應用白努力定律，可以得到 $P_1 - P_2 = \frac 1 2 \rho (v_2^2-v_1^2)$ ，也就是 $\Delta P = \frac \rho 2 \Delta (v^2)$ 。而 $\Delta (v^2) = 2v \Delta v = \frac{2v}{T}\Delta L$，其中 $T$ 是上下兩條氣流通過機翼所需的時間，可以 $L/v$ 估計。
總而言之，經過一些小計算可以得到 $F = \Delta P\cdot A = \rho Av^2 \frac{\Delta L}{L}$，描述了路徑差與所需升力的關係。將前述的實際參數帶入（空氣密度~1kg/m3），可以得到 $\Delta L = 28 cm$。如果以一個底為162 cm 的等腰三角形來說，高需有近 50cm ，才能滿足幾何條件。表示機翼的剖面應該長得像這樣：
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| 機翼的剖面圖....嗎？ |
實際上，Cessna 172 長這樣：
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| Cessna 172 （Wikipedia） |
長得好像不太一樣.....？看起來我們的計算結果不太妙喔。
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| Don't Drain Rice with Colander (keepmeme.com) |
一切的一切，都來自於一開始假設機翼上下的氣流要同時到達尾端。這假設沒道理啊，我連中午的meeting都會睡過頭了，空氣怎麼可能總是準時到達？還是看看別人做的實驗證明吧！
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| 機翼上下緣氣流實驗（圖取自[1]） |
怎麼辦呢？其實我也不知道
機翼太複雜了，不如先從轉彎的流體開始吧。如下圖，若流體沿著一條彎曲的流線(curved streamline) 前進，高中物理告訴我們圓周運動需要什麼力？需要向心力[2]！也就是說當流體要轉彎時，彎道外側的壓力必定要大於內側的壓力，才能提供流體所需的向心力。參考資料 [1] 的 Appendix 中有提到詳細的計算，結論是一個十分眼熟的結果
$$ \frac{dp}{dn} = \rho\frac {v^2}{r}, $$
其中 $dp/dn$ 表示垂直流線方向的壓力變化率（梯度），也就是前面定性討論中提到的「彎道內外側壓力差」。也就是說，轉彎的流線伴隨著壓力變化。
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| 轉彎的流體（圖取自[1]） |
原來是轉彎
最後，看看機翅吧。
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| 不同攻角的機翼流線（圖取自[1]） |
觀察上圖 (a) 或 (b) 的流場，可發現機翼上緣的氣流被向上擠壓而轉彎，如同前面所說，這會使彎道內側（也就是機翼表面）的壓力較低；類似的，在 (a) 中機翼下緣的氣流相對平穩，壓力會比上緣來得高。因此，在流體障礙物（機翼）的影響下，會提供一個向上的淨力，也就是機翼的升力。
圖 (a) 與 (b) 中主要的差異是攻角。攻角（angle of attack, AOA）表示自由氣流（不受機翼影響的部分的氣流，此圖中為水平）與機翼指向之間的夾角。因此 (b) 的攻角比 (a) 中還要大，因為機翼傾斜的角度更大。在大攻角的情形中，可以發現上緣氣流被彎曲的情形更明顯，表示會在機翼上表面造成更大的負壓；而下緣甚至出現了氣流向上彎的情形，將進一步升高機翼的升力。
因此，大攻角會提供較大的升力。但真的如此嗎？顯而易見的，把機翼直立起來（攻角 90°）應該只有擋風而沒有上升的作用。事實上，在攻角大到一定程度時，流體將無法繼續順著機翼表面流動（稱作邊界層分離），前面所說靠流體轉彎提供壓力差也就不成立了。此現象稱作失速（stall），表示在攻角逐漸加大時，升力會突然下降的現象，在飛行中是非常危險的情況。
結論 & 後記
看到這裡，相信讀者對於機翼升力的成因有些初步的瞭解了（尤其如果你的小學老師拿白努力騙你。）但機翼的故事卻遠遠不止於此，機翼的物理與設計是非常複雜的任務，在低速、高速、超音速、高昇力等各種不同的需求下，也會衍生出各種不同的翼型設計。舉例來說，現在噴射機多使用後掠翼（swept-back wing）設計，就是為了在亞音速巡航時有更好的效率，相對就犧牲了在低速時的表現。此外，在機翼上也有 slat, flap, wingtip, spoiler 各種不同的設計或控制面，都是為了在起降或需改變速度時的各種氣動條件所設計的。下次若有機會坐在靠窗位，不妨多看看窗外機翼的精巧與美麗吧！
參考資料
[1] Holger Babinsky, How do wings work?, IOP Physics Education, 38, 6 (2003)
[2] 對圓周運動不熟的讀者可以參考 https://reurl.cc/EzavD1
作者(無)介紹
本文作者..
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..... PK，你猜對了嗎 (?)