圖片來源：筆者自攝（自製puipui和自己的裝逼筆記）
因為這次輪到的筆者被期中考延長賽打爛，所以這次的篇幅超短，請見諒。
(不過會下次會連載相關的)
這次的內容可能微數學，但因為筆者數學不好，所以可能不太嚴謹，再度請見諒。
有些讀者可能在電磁學或是量子力學遇過一些特殊函數，像是Legendre Polynomial或是Hermite Polynomial。第一次遇到特殊函數的人，大概會覺得它們長得很畸形，像是Legendre Polynomial就可以被寫成$P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$，比三角函數或指數函數長得要複雜很多。那我們為什麼會需要這些特殊函數呢？首先先來介紹一下特徵問題。
特徵問題
學過線代的人，就會碰過這樣的問題，解一個矩陣$A$的特徵值和特徵向量。也就是解$A\vec{y}=\lambda \vec{y}$的$\lambda$和$\vec{y}$。事實上這也是一種特徵問題，而且可以把它類比到微分運算子$L$的特徵問題$Ly=\lambda y$。針對這個$L$，也有對應的特徵值$\lambda$，但這個特徵值對應到的就不是特徵向量，而是特徵函數！(在物理上，你也可以把函數當成是無限維的向量(?))不過在解微分方程的時候，我們會需要邊界條件，才能決定解函數；而這個函數的特徵問題，也是需要邊界條件才能足夠完整，才能夠是一個完整的物理問題。
來一個簡單的例子：
假設現在有個$L=-\frac{d^2}{dx^2}$，那它對應到的特徵方程是$\frac{d^2}{dx^2}y+\lambda y=0$，給定$y(0)=y(l)=0$的邊界條件後就變成了特徵問題。這邊我們將$\lambda$分成三種情況，用基本的ODE就可以得到它各自的通解形式
1.$\lambda=k^2$，$y=a\cos{kx}+b\sin{kx}$
2.$\lambda=0$，$y=a+bx$
3.$\lambda=-k^2$，$y=a\cosh{kx}+b\sinh{kx}$
代入邊界條件後，會發現只剩1.可以有非零的函數解，而且
$a=0，b\sin{kl}=0，k=\frac{n\pi}{l}$
所以這個問題對應到的特徵值和特徵函數就是
$\lambda=(\frac{n\pi}{l})^2，{\phi}_n=\sin{\frac{n\pi x}{l}}$
特徵函數性質
再次跟線代(?)做對比。一般而言，我們遇到的$n$維向量可以寫成$\mathbf{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^T$，$\mathbf{y}=[y_1,y_2,...,y_n]^T$，然後我們定義他們的內積就是$<x,y>={\sum}^n_{i=1}x_i^*
y_i={\mathbf{x}}^*\mathbf{y}$，其中$*$代表取了共軛和轉置。而$\sqrt{<x,x>}$就是它是這個$n$維空間下的範數。但在泛函空間下，函數之間的"內積"就會變成$<f(x),g(x)>={\int}^b_a\rho (x)f^*(x)g(x)dx$，其中$[a,b]$是我們要討論的問題所處的區間，以上面的例子而言就是$[0,l]$，然後$\rho (x)$叫做權函數(weight function)，來自我們使用的$L$，因為想找出特徵函數可以正交的條件，所以會需要權函數。而函數的正交就和向量的正交概念一樣，只要$<f(x),g(x)>={\int}^b_a\rho (x)f^*(x)g(x)dx=0$，就會稱作$f(x)$和$g(x)$在區間$[a,b]$相對權函數$\rho (x)$正交。如果我們的特徵問題對應到的特徵函數(事實上我們在物理上常遇到的是實函數，所以假設特徵函數是實函數)有無限多個，並且他們的特徵值是離散的，加上滿足$<{\phi}_m,{\phi}_n>={\int}^b_a\rho (x){\phi}_m(x){\phi}_n(x)dx={\delta}_{mn}$(這個$\delta$是Kronecker delta)，那這個特徵函數集$\{{\phi}_n\}$就會是完備的，任何函數都可以有$f(x)={\sum}^{\infty}_{n=1}c_n{\phi}_n$
下次待續
事實上，就是這個完備性讓這些特殊函數有存在的意義(X)那什麼樣的特徵問題可以生出有完備性的函數集呢？下次待續，筆者繼續打延長賽。
作者介紹
劉芷辰(爆肝貓)
曾參加2019的APhO，然後就沒有然後了，還被COVID-19搞到QAQ
是一隻非常喜歡物理的貓，現在是台大物理的大一新生，菜味很重請見諒。
然後量物期中，好可怕，肥油