傳統上（？推導極座標微分的方法有兩個， 第一種是將單位向量以直角座標系表示[1]， 第二種是利用微小變化的大概等於弧長的方式[2][3]， 兩種方法都需要做一些圖，而且正負號都有夠難弄對的（？ 這篇文章將提供一種簡單的方法，來推導一樣的結果。
極座標
在平面上，我們可以指定一個原點和 \(x\) 軸，即確定了一個直角座標系。 此時對於平面上的任何位置，其座標軸的方向都是相同的，並且我們可以用其 \(x\) 和 \(y\) 座標來唯一描述該點。
除了直角座標之外，我們也可以利用極座標來描述平面。同樣在指定原點和 \(x\) 軸之後， 對於平面上非原點的任意點，我們可以利用原點到該點的距離 \(r\) 以及原點到該點之射線和 \(x\) 軸之夾角來唯一描述該點， 這時候，該點的座標軸會是從原點到該點的射線方向的徑向方向，
要特別注意的是，平面上不同的點其座標軸並不必須相同， 也就是說座標軸不再是不會改變的了。 如果有個質點，其受力以極座標描述只有徑向分量，不代表其受力方向不會改變，這取決於質點的實際軌跡。
直角座標的複數形式
在平面上的任何一點 \((x, y)\)，我們可以用一個複數 \(z = x + iy\) 來表示。 而一個質點在平面上運動的軌跡可以在直角座標系中利用兩個座標 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 來描述，同樣的我們也可以將其合併為一個複數 \(z(t) = x(t) + iy(t)\)。 利用複數的好處是，在微分時，兩個實部和虛部互相獨立，即 \[\begin{equation} \frac{dz(t)}{dt} = \frac{dx(t)}{dt} + i \frac{dy(t)}{dt} \end{equation}\] 因此，我們可以把兩個方向上的運動方程式 \[\begin{equation} \begin{aligned} F_x(t) &= m \frac{d^2x(t)}{dt^2}\\ F_y(t) &= m \frac{d^2y(t)}{dt^2} \end{aligned} \end{equation}\] 合併成一條方程式 \[\begin{equation} F(t) = m \frac{d^2z(t)}{dt^2} \end{equation}\] 其中 \(F(t) = F_x(t) + iF_y(t)\)，雖然說這樣寫除了好看外大概是沒啥用處。
極座標的複數形式
眾所周知，\(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\)， 而在引入 Euler equation 之後，我們可以將任意的複數 \(z = x + iy\) 改寫為 \(z = re^{i\theta}\) ，其中的 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) 和 \(\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})\)。
我們會立刻發現，我們成功將極座標的兩個參數塞到同一個複數中。 因此，我們再次嘗試直角座標系做過得把戲，假設有個質點的軌跡在極座標中為 \(r(t)\) 和 \(\theta(t)\)， 則我們可以將其軌跡寫為 \(z(t) = r(t)e^{i\theta(t)}\)（為了畫面美觀，以下推導我們省略 \(r\) 和 \(\theta\) 的 \(t\) 變數）， 將軌跡微分一次之後得到速度為 \[\begin{equation} \begin{aligned} v(t) &= \frac{dr}{dt}e^{i\theta} + ir\frac{d\theta}{dt}e^{i\theta} \\ &= (\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\theta}{dt})e^{i\theta} \end{aligned} \end{equation}\] 得到第一項為徑向速度，第二項為切向速度。 再微分一次得到加速度為 \[\begin{equation} \begin{aligned} a(t) = &\left(\frac{d^2r}{dt^2} + i\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} + ir\frac{d^2\theta}{dt^2}\right)e^{i\theta} + \left(\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\theta}{dt}\right)i\frac{d\theta}{dt}e^{i\theta}\\ = &\left(\left(\frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + i\left(r\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} \right)\right)e^{i\theta} \end{aligned} \end{equation}\]
小結論
其中第一項為徑向加速度，第二項為切向加速度，和傳統方法得到的結果相同（廢話）， 但在推導過程中不用作圖，只需要用到簡單的（？指數的微分，大概也沒什麼弄錯正負號的機會，很好喔！
感謝 PK 背書原創性（？
