傳統上(?推導極座標微分的方法有兩個, 第一種是將單位向量以直角座標系表示[1], 第二種是利用微小變化的大概等於弧長的方式[2][3], 兩種方法都需要做一些圖,而且正負號都有夠難弄對的(? 這篇文章將提供一種簡單的方法,來推導一樣的結果。
極座標
在平面上,我們可以指定一個原點和 x 軸,即確定了一個直角座標系。 此時對於平面上的任何位置,其座標軸的方向都是相同的,並且我們可以用其 x 和 y 座標來唯一描述該點。
除了直角座標之外,我們也可以利用極座標來描述平面。同樣在指定原點和 x 軸之後, 對於平面上非原點的任意點,我們可以利用原點到該點的距離 r 以及原點到該點之射線和 x 軸之夾角來唯一描述該點, 這時候,該點的座標軸會是從原點到該點的射線方向的徑向方向,
要特別注意的是,平面上不同的點其座標軸並不必須相同, 也就是說座標軸不再是不會改變的了。 如果有個質點,其受力以極座標描述只有徑向分量,不代表其受力方向不會改變,這取決於質點的實際軌跡。
直角座標的複數形式
在平面上的任何一點 (x,y),我們可以用一個複數 z=x+iy 來表示。 而一個質點在平面上運動的軌跡可以在直角座標系中利用兩個座標 x(t) 和 y(t) 來描述,同樣的我們也可以將其合併為一個複數 z(t)=x(t)+iy(t)。 利用複數的好處是,在微分時,兩個實部和虛部互相獨立,即 dz(t)dt=dx(t)dt+idy(t)dt 因此,我們可以把兩個方向上的運動方程式 Fx(t)=md2x(t)dt2Fy(t)=md2y(t)dt2 合併成一條方程式 F(t)=md2z(t)dt2 其中 F(t)=Fx(t)+iFy(t),雖然說這樣寫除了好看外大概是沒啥用處。
極座標的複數形式
眾所周知,eiθ=cos(θ)+isin(θ), 而在引入 Euler equation 之後,我們可以將任意的複數 z=x+iy 改寫為 z=reiθ ,其中的 r=√x2+y2 和 θ=tan−1(yx)。
我們會立刻發現,我們成功將極座標的兩個參數塞到同一個複數中。 因此,我們再次嘗試直角座標系做過得把戲,假設有個質點的軌跡在極座標中為 r(t) 和 θ(t), 則我們可以將其軌跡寫為 z(t)=r(t)eiθ(t)(為了畫面美觀,以下推導我們省略 r 和 θ 的 t 變數), 將軌跡微分一次之後得到速度為 v(t)=drdteiθ+irdθdteiθ=(drdt+irdθdt)eiθ 得到第一項為徑向速度,第二項為切向速度。 再微分一次得到加速度為 a(t)=(d2rdt2+idrdtdθdt+ird2θdt2)eiθ+(drdt+irdθdt)idθdteiθ=((d2rdt2−r(dθdt)2)+i(rd2θdt2+2drdtdθdt))eiθ
小結論
其中第一項為徑向加速度,第二項為切向加速度,和傳統方法得到的結果相同(廢話), 但在推導過程中不用作圖,只需要用到簡單的(?指數的微分,大概也沒什麼弄錯正負號的機會,很好喔!
感謝 PK 背書原創性(?