傾斜的物理

0x00 圓周運動

從高中我們就學過，若一物體延曲線做運動，則其必然會受一向心力以用來提供加速度以改變其運動方向。 若物體的質量為 $m$ 、速度為 $V$ 、曲線的曲率為 $R$ ，則向心力的量值為我們所熟悉的

$$F_c = m\frac{V^2}{R}$$

基本上，在我們日常生活的尺度，這項關係式不太會出差錯。

0x01 超高

而當火車在過彎時，也必須要遵守這樣的關係式。在工程上，會利用改變軌道面的傾角，來將正向力的分力做為向心力，以達成過彎。而因為傾斜而導致的內外軌間高度差稱為超高。

在有超高的軌道上車廂受力情形。

令軌距為 $\ell$、傾角為 $\theta$ 、超高為 $c$ 、重力加速度為 $g$ ，則我們可以列出以下兩條關係式

$$\begin{cases} mg\tan(\theta) = m\frac{V^2}{R}\\ \sin(\theta) = \frac{c}{\ell} \end{cases}$$

而當 $\theta$ 不大時，$\theta \approx \sin(\theta) \approx \tan(\theta)$ ，將這項關係帶入後，我們可以整理得到 $$c = \frac{\ell V^2}{gR}$$ 因此在鋪設軌道時，超高取決於路線的曲率半徑和設計速度。

我們可以帶入實際的數字，以臺鐵局為例，其營運路線軌距為 1067mm ，重力加速度約為 9.8m/ss，若超高單位為 mm、速度單位為 km/hr、曲率半徑單位為 m， 則可以得到 $$c = 8.4\frac{V^2}{R}$$ 我們可以在交通部頒定的1067 公厘軌距軌道橋隧檢查養護規範[1]中的 2.1.4 節找到這樣的關係式。

0x02 超高不足

但實際上，我們不可能要求每一台列車都以同樣的時速通過彎道，而在設計上，為了安全考量，通常也不會將超高設定到完整的理論值。 這代表說，超高只能提供一部分的向心力，而多出來未被平衡的部份則稱為超高不足。 額外的向心力主要由車輪與軌道間的側向力來補足，這個側向力源自於複雜的輪軌關係。 理論上，在軌道可以提供額外的側向力的情況下，我們可以透過強化軌道來提昇過彎的速度。但是，實務上在達到這個上限之前，乘客早因為超高不足而感受到不適，因此車輛的速限很大程度是來自於舒適性的考量。

乘客靜止座標系中，其所感受到的力及分解。

讓我們考慮乘客靜止座標系，這是一個在做圓周運動的非慣性座標系，因此乘客會產受到一個向外的離心力。經過適當的分解，我們可以整理出在乘客的水平方向和鉛直方向受力分別為 $$F_\bot = - mg\cos(\theta)-m\frac{V^2}{R}\sin{\theta}\\ F_\parallel = -mg\sin(\theta) + m \frac{V^2}{R}\cos{\theta}$$ 可以發現，在水平方向上，乘客會感受到一加速度 $$a_\parallel = \left(\frac{V^2}{R} - g\tan(\theta)\right) \cos{\theta}$$ 注意到當平衡超高時 $g\tan(\theta) = \frac{V^2}{R}$ ，也就是乘客不會感受到水平加速度，而當超高不足越大時，其感受到的水平加速度越大。人們所能接受的水平加速度限制了超高不足的上限，也因此限制了速度的上限。

0x03 傾斜的把戲

要想提高過彎的速限，就必須要想辦法欺騙乘客的感官，減少其所感受到的水平加速度。其中一種方式就是利用列車本身的機械機制，除了超高提供額外的傾斜。在這裡我們考慮簡單的例子，傾斜的中心和車廂重心重合，因此傾斜不改變過彎的其他條件。 在實務上，這兩者有可能是不重合的，必須考慮其他的額外效應影響。

在傾斜車廂中的乘客靜止座標系。

若傾斜的角度是 $\alpha$，則可以重新寫下

$$a_\parallel = \left(\frac{V^2}{R} - g\tan(\theta + \alpha)\right) \cos(\theta + \alpha)$$

注意到這時候 $\alpha$ 是一個可以調整的參數，透過適當的設定，可以縮小 $\frac{V^2}{R} - g\tan(\theta + \alpha)$ 的值，或甚至將其完全消除。

傾斜式列車透過通過彎道時，將車廂傾角 $\alpha$ 調整為適當大小，可以在較高速度通過時，降低乘客的不舒適感。

[1]

交通部, 1067mm軌距軌道養護檢查規範, 臺北, 2021.link