慣性座標系與相對性原理

圖文不符 (圖源：Fishbone)

    (筆者認為) 物理，是一門研究物質在空間與時間中交互作用的學問。上面一句話蹦出了四個需要被解釋的詞，有講跟沒講一樣。本文想要討論關於空間與時間的一些基本認知，因為只是「基本」認知，所以不會有曲率，更別提什麼Kaluza-Klein或是Calabi-Yau。當然，希望這個專欄之後有機會可以稍微介紹到這方面的知識。

(接下來這部分是數學背景知識，會了可以跳過，看不太懂跳過大概也能看得懂後面)

歐氏空間

    物理學家最常討論的空間就是歐氏空間 (歐幾里得空間，Euclidean space)，即使後來發現我們的時空並不是歐氏空間，我們實際操作的物件也大多是在歐氏空間中的，不過這不是本文的重點。我們先介紹有限維的歐氏空間，也就是有限維的實內積空間 (real inner product space)，具備以下幾個性質：

1. 數學上的空間大部分都是拓樸空間 (topological space)。拓樸空間是一個集合$X$和上面的拓樸$\mathscr{T}$，滿足下面幾個定義：

  (1) $\mathscr{T}$中的元素都是$X$的子集，且一定有$X$和空集合$\emptyset$。我們又稱$\mathscr{T}$的元素為$X$上的開集 (open sets)。

  (2) 取任意$\mathscr{T}$中的元素出來聯集後，都會屬於$\mathscr{T}$。

  (3) 取任意有限多個$\mathscr{T}$中的元素出來交集後，都會屬於$\mathscr{T}$。

    在拓樸空間之間的連續函數定義是開集的preimage (據說中文叫原像)是開集。

2. 能定義距離的空間稱為賦距空間 (metric space)。賦距空間是一個集合$X$和上面的距離$d:X\times X\to\mathbb{R}$滿足：

  (1) $d$的值域大於等於0。

  (2) 兩點的距離為0若且唯若兩點相等。

  (3) 滿足三角不等式，亦即$d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$。

    賦距空間上可以定義拓樸，定法如下：

$U$是開集若且唯若對所有$x\in U$都存在$\epsilon\in\mathbb{R}^{>0}$滿足所有和$x$距離小於$\epsilon$的元素都屬於$U$。

    讀者可以驗證一下這種定法確實是符合拓樸空間的要求。此外，在此定義下，連續函數的定義跟在微積分上學到用$\epsilon-\delta$定義出的連續函數是等價的。

3. 歐氏空間是一個實向量空間 (real vector space)，向量空間公理好多我好懶，而且大家應該都知道，所以就不寫細節了。實向量空間顧名思義就是一個向量空間上面的體是實數。

4. 實向量空間加上內積 (inner product)就是實內積空間。此時內積 ($\langle\cdot,\cdot\rangle\to\mathbb{R}$)的定義滿足：

  (1) 線性 (linearity)：$\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$和$\langle x,ay\rangle=a\langle x,y\rangle$。

  (2) 對稱 (symmetric)：$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$。

  (3) 正定 (positive-definite)：非零向量$x$滿足$\langle x,x\rangle>0$。

    此時將實內積空間的距離定成$d(x,y)=\sqrt{\langle x-y,x-y\rangle}$。讀者可以驗證這種定法確實是個距離。此外，有限維的實內積空間也會有完備性 (科西收斂一定會收斂到空間內一點)。

慣性座標系與相對性原理

    牛頓第一運動定律定義了何謂慣性座標系：在慣性座標系中，自由物體會呈等速度運動。此外，慣性座標系還滿足 (1) 空間均勻、(2) 空間各向同性 (isotropy)、(3) 時間均勻。從空間的兩個性質和完備性 (才能定義速度) 能得知慣性座標系的空間是歐氏空間；由時間均勻跟完備性 (才能定義速度) 得知慣性座標系的時間是$\mathbb{R}$；均勻性還要求了慣性座標系的座標之間的變換是仿射變換 (affine transformation)，也就是變換可以寫成一個線性映射加常數。如果給定一個慣性座標系$\mathscr{F}$，根據牛頓第一運動定律的敘述，另一個座標系是慣性座標系若且唯若這個座標系相對$\mathscr{F}$進行等速度運動。

    定義完慣性座標系後，相對性原理是一個很直覺也相當重要的公理：慣性座標系是不可區分的，物理定律在所有慣性座標系皆會成立。相對性原理的想法早在伽利略牛頓時期就有了，伽利略也給出了符合相對性原理的座標變換，也就是伽利略變換 (Galilean transformation)。不過我們現在想要試著單純從我們的定義 (慣性座標系的三個性質與牛頓第一運動定律) 與公理 (相對性原理) 出發討論慣性座標系之間所有可能的座標變換。

    給定兩個慣性座標系$\mathscr{F},\mathscr{F}'$。不失一般性，考慮空間的部分選取同一組正交基底$\{e_1,e_2,e_3\}$、$\mathscr{F}'$相對$\mathscr{F}$以速度$\mathbf{v}$沿著$e_1$方向移動、且兩座標系的座標原點重疊。寫下座標之間的變換： $$\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}=\Lambda(\mathbf{v})\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}$$

其中$x^0$表示時間、$x^i$ ($i=1,2,3$) 對應三個空間座標。我們常常會把這種等式寫成$\Delta x'^\mu={\Lambda(\mathbf{v})^\mu}_\nu \Delta x^\nu$。

    空間部分的座標變換是獨立的 (兩座標系選取同一組正交基底可知)，對所有$i\neq j$ ($i,j=1,2,3$) ${\Lambda(\mathbf{v})^i}_j=0$。此外，與座標系相對運動方向垂直的兩個座標變換應只與$|\mathbf{v}|$有關，若變換會使$x'^i>x^i$ ($i=2,3$)，我們考慮逆變換會得到$x'^i<x^i$ ($i=2,3$) 矛盾，反之亦然，所以$x'^2=x^2$和$x'^3=x^3$。由以上討論，我們能把座標變換改寫成：

$$\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\Lambda(\mathbf{v}) &0\\0 &I_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}。$$

    現在考慮$\mathscr{F}'$座標系的座標$(t',0,0,0)$在$\mathscr{F}$座標系中時間座標是$t$，因為相對速度是$ve_1$，$\mathscr{F}$座標系看起來的座標是$(t,vt,0,0)$，所以可得座標轉換

$$\begin{pmatrix}t'\\0\end{pmatrix}=\Lambda(\mathbf{v})\begin{pmatrix}t\\vt\end{pmatrix}；$$

同樣的，考慮$\mathscr{F}$座標系的座標$(t',0,0,0)$，可得座標變換

$$\begin{pmatrix}t\\-vt\end{pmatrix}=\Lambda(\mathbf{v})\begin{pmatrix}t'\\0\end{pmatrix}。$$

由以上兩式可解得

$$\Lambda(\mathbf{v})=\frac{1}{\sqrt{1-\kappa v^2}}\begin{pmatrix}1&-\kappa v\\-v &1\end{pmatrix}$$

而$\kappa$是常數。

    當$\kappa=0$，座標變換是$t'=t,x'=x-vt$，也就是伽利略變換；而當$\kappa>0$，設$c=1/\sqrt{\kappa}$可得$ct'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(ct-\frac{v}{c}x),x'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(x-\frac{v}{c}ct)$，也就是勞倫茲變換。(讀者們也可以試著思考看看$\kappa<0$的情況座標會如何轉換)

    當愛因斯坦在狹義相對論再次強調相對性原理時，他認為電磁理論也應該符合在所有慣性座標系皆會成立的特性，因此伽利略變換勢必有問題，而勞倫茲變換才會是正確的。關於相對論更多的介紹可以關注王維恩的文章。

作者介紹

姚勁宇

曾參加2019年的APhO跟IPhO。

物理跟數學都不太好，加在一起勉勉強強還可以(嗎？)，所以在物理的部落格寫了一個數學的專欄。