在家跨年也很不錯，希望大家都能安全地過完2020年！
$$\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}$$
而狹義相對論中不同座標系之間的座標轉換（也就是勞倫茲轉換）的樣子就是：
其中$\beta=\frac{v}{c}, \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$，當然這樣的形式代表我們假設$\mathscr{F}'$在$\mathscr{F}$座標系中沿著$+x$方向以等速率$v$行進。如果不是沿著座標軸的方向移動，勞倫茲轉換的矩陣以目前的基底表示會長得比較複雜，有興趣的話可以參考維基，雖然長得很可怕，但本質上與上面這個簡單的形式是一樣的。
回到物理現象
那麼具體來說這個怎麼用來解釋第一篇文章提到的現象呢？首先，我們需要知道想處理的事件的時空座標，也就是when and where。為簡單起見，我們只考慮事件的x座標而不管其他兩維。
時間膨脹 time dilation
在處理狹義相對論的時候，最重要的是要知道我們有哪些座標系。以上面的$\mathscr{F}'$與$\mathscr{F}$為例，這兩個座標系的原點$(ct,x)=(ct',x')=(0,0)$在$t=t'=0$時重合，$\mathscr{F}'$的座標軸在$\mathscr{F}$系中以$x$方向、量值為$v$的等速度移動。
$\mathscr{F}$系及$\mathscr{F}'$系示意圖
考慮一個在$\mathscr{F}$系中靜止的參考人，他在$t=t_0$時開始計時直到$t=t_1$為止，假設他一直站在$x=x_0$處不動。
那麼「開始計時」這個事件在$\mathscr{F}$系的時空座標是$(ct_0, x_0)$，「結束計時」則是$(ct_0, x_0)$。而這兩個事件在$\mathscr{F}'$系中又會有不同的座標，由勞倫茲轉換給出；
分別為
\[(ct'_0, x'_0)=(\gamma(ct_0)-\gamma\beta x_0, -\gamma\beta(ct_0)+\gamma x_0)\]
以及
\[(ct'_1, x'_1)=(\gamma(ct_1)-\gamma\beta x_0, -\gamma\beta(ct_1)+\gamma x_0)\]
在$\mathscr{F}$系中量測到這兩個事件的時間差是$t_1-t_0$，而在$\mathscr{F}'$系中量測到的時間差則是$t'_1-t'_0=\gamma(t_1-t_0)$。因為$\gamma>1$，所以$t'_1-t'_0>t_1-t_0$，這也就是相對論的時間膨脹效應––不同慣性座標系的人會覺得對方的時間過得比自己慢。
動尺縮短 length contraction
在相對論中，想要量取一段物體的長度，必須在操作的座標系中同時量測物體的兩端，而勞倫茲轉換告訴我們，兩個事件在某個慣性座標系是「同時」的，在不同的慣性座標系下就不同時了。
考慮$\mathscr{F}$系中一段長$L$的靜止棒，則量取棒兩端的兩個事件在$\mathscr{F}$系中的空間距離為$\Delta x$。現在來看看$\mathscr{F}'$系中量到的棒長為多少；量測棒兩端的兩個事件必須有同樣的$t'$，那麼勞倫茲轉換告訴我們：
\[0=c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta \Delta x)\Rightarrow \Delta t=\frac{\beta \Delta x}{c}\]
利用這個結果，再用勞倫茲轉換求出新的空間座標：
\[\Delta x'=\gamma(-\beta c\Delta t+\Delta x)=\gamma\Delta x(1-\beta^2)=\frac{\Delta x}{\gamma}\]
(這邊的計算就是把兩個事件的勞倫茲轉換式子相減計算出來的)
這個計算結果顯示了若一個物體在某個慣性座標系下正在運動，在這裡量到的長度會比靜止的時候量測這個物體還要短！
閔考斯基圖(Spacetime diagram)
透過以上的例子可以發現，以座標的型式處理相對論的問題是比較有系統性的。既然我們可以用直角坐標平面來圖像化空間中的代數計算，那狹義相對論有沒有這樣的一種圖像化的方式呢？答案就是「時空圖」spacetime diagram，或稱「閔考斯基圖」。
只考慮時間和一維空間的時空圖
原則上時空座標有四維，所以完整的時空圖也是四維；不過實用上通常考慮時間座標以及其中一個維度就很足夠了，原因可以從上面的勞倫茲轉換中看出來：三個空間座標$(x, y, z)$中，只有$x$座標的值會隨著參考系的改變而改變，$y$、$z$座標維持不變(當然所討論的參考系的相對速度要是沿著$x$軸的)。
上面這張時空圖畫了兩個慣性座標系，紅色的ct軸和x軸代表慣性參考系$U$的時空座標，而綠色的$ct'$軸和$x'$軸代表慣性參考系$U'$的時空座標($U$、$U'$相當於前面所提到的$\mathscr{F}$及$\mathscr{F}'$系)。現在我們來看看要怎麼在時空圖上標示事件；假設事件A和事件B在$U$系的時空座標分別$(ct, x)=(2, 4)$與$(ct, x)=(5, -3)$，並先看只有$U$系的情況：
這個畫法就跟我們以前所學的直角座標系一樣，只是座標軸的意義變了。兩個座標的單位都是距離(所以我們通常會用$ct$而非$t$來表示時間座標)，可以是公尺、光年或任何距離單位，接下來引入$U'$系的座標軸(綠色的座標軸)：
為什麼$U'$系的軸會長成這個樣子呢？其實這就是把勞倫茲轉換圖像化的結果。$x'$軸代表的是$ct'=0$的點的集合，也就是
\[0=ct'=\gamma(ct-\beta x)\Rightarrow ct=\beta x\]
這是一條斜率為$\beta$的直線方程式！接下來看$x'=0$的點的集合，或者說$ct'$軸：
\[0=x'=\gamma(x-\beta ct)\Rightarrow ct=\frac{1}{\beta}x\]
這也是條直線方程式，但斜率是$\frac{1}{\beta}$，所以我們知道了$U'$系的兩個軸是對著通過斜率為1的直線對稱的兩條直線，而上圖中的$\theta=\tan^{-1}\beta$。
有了座標軸，但我們還缺少新座標軸的「刻度」，有了刻度才能正確標示事件的位置。透過簡單的計算，可以發現為了滿足勞倫茲轉換，$U'$系的座標軸的一個刻度長度等於$U$系的座標軸一個刻度長度的$\sqrt{\frac{1+\beta^2}{1-\beta^2}}$倍。以我們目前畫的時空圖為例，$\beta=\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$，所以刻度的倍數就是$\sqrt{\frac{1+1/3}{1-1/3}}=\sqrt{2}$，如下面這張圖：
最後一個問題是如何利用這張圖讀取一個事件在不同座標系的座標。由於$U'$系不是直角坐標系，無法用以前的方法讀取，不過做法是很類似的。在$U$系將事件$A$畫在時空圖上時，因為他的座標是$(ct, x)=(2, 4)$，位置就是從原點沿著$x$軸走四格，再往跟$ct$軸平行的方向走兩格；若今天有個事件$C$在$U'$系的座標是$(ct', x')=(2, 4)$，它在時空圖上的位置就是從原點沿著$x'$軸走四格，再沿著跟$ct'$軸平行的方向走兩格，就像下面這樣：
以上就是如何根據事件在不同慣性系中的座標將事件標示在時空圖上的方法，最後來驗證一下有沒有符合勞倫茲轉換。以這張圖來說，$U$系和$U'$系之間的$\gamma=\sqrt{\frac{3}{2}}, \beta=\frac{1}{\sqrt{3}}$；所以$A$點在$U'$系的座標大約是$(ct', x')=(-0.38, 3.48)$，而$B$點在$U'$系中的座標是$(ct', x')=(8.25, -7.21)$，$C$點在$U$系的座標是$(ct, x)=(5.28, 6.31)$。這些結果與上面的時空圖吻合。
時空圖還可以描述質點或粒子的運動狀態，只要物體不憑空消失或出現，則它在時空圖上的「軌跡」會是一條連續的曲線，稱之為世界線，你也可以把這條曲線看成是一個物體在每個瞬間的事件的集合。顯然的，等速度運動的物體的世界線會是一條直線，有了世界線的觀念之後，就可以來看看怎麼用時空圖來解決相對論的問題。又是鐘慢尺縮效應
稍早提到的time dilation和length contraction有時合併叫鐘慢尺縮效應，先來看看時間膨脹的時空圖，這個問題有兩個有相對速度的觀察者及與各自相對靜止的慣性座標系，稱他們為觀測者A
、B及參考系$U$、$U'$。注意到A和B的世界線其實就是參考系$U$及$U'$的時間軸。我們先看看A的鐘在兩個座標系中過的快慢：
在上圖中，$t_1$是參考系$U$所量到的時間，而$t'_1$則是參考系$U'$所量到的時間，透過一些三角函數的幾何運算，可以得到上圖中$ct'_1$的長度是$ct_1$的$\frac{\sqrt{1+\beta^2}}{1-\beta^2}$倍，最後因為$ct'_1$的座標是在$U'$系中量測的，所以要除以$\sqrt{\frac{1+\beta^2}{1-\beta^2}}$，這樣與前面的結果吻合。類似的，你可以試試看驗證觀測者B的鐘在參考系$U$中是否符合同樣的關係，別忘了不同座標系的「刻度」是不一樣的。
同樣的，動尺縮短效應也可以從時空圖中很簡單的看出來，這裡就不多做示範了。時空圖除了本篇提到的應用外，其實還有更多有用的應用，其中之一跟所謂的時空間隔(spacetime interval)很有關係，留待下回分解。