圖片來源：筆者自攝（自製puipui和筆者的裝逼筆記）
(筆者有接著連載，可喜可賀)
(文章依然短，寫太長的話文筆會裂開)
同樣的，這次的內容可能微數學，但因為筆者數學不好，所以可能不太嚴謹，再度請見諒。
比起科普文章，這一篇更像是簡化版的介紹
上次筆者在Special Fuction之類的(一)中，介紹到了特徵問題、特徵函數，和完備性之類的概念，那這篇就來介紹什麼樣的運算子$L$可以保證解的函數集是完備的，並且以Sturm-Liouville problem當作例子來說明，最後希望能讓讀者覺得在電磁學或量子力學（也可能兩個都還沒讀就是了）遇到的特殊函數沒那麼討厭（至少不要覺得它們醜醜沒路用）。然後忘記定義的可以回來看這篇Special function之類的（一）
自伴隨運算子(Hermitian operator)
如果我們的特徵問題$Ly=\lambda \rho y$(其實上一篇的特徵問題定義忘記把權函數乘上去)在給定邊界條件下的區間$[a,b]$中必定有完備（complete）的特徵函數集$\{{\phi}_n\}$（特徵值為$\lambda_n$）的話，有什麼好處呢？直接用例子說明：假如我們現在有某個微分方程$Ly=f$，$f(x)$是一個已知函數，並且想要在同樣的邊界條件下，於$[a, b]$裡求解。利用前面的特徵函數，並依據完備性的定義，我們可以將想要求的解函數展開， $y(x)={\sum}_{n=1}^{\infty}c_n{\phi}_n(x)$ ，於是就能把我們的問題改成求 $c_n$ 。接下來把原本的微分方程改造成 $\sum_{n=1}^\infty c_n \lambda _n \rho (x) \phi_n(x) = f(x)$ ，並且把兩邊都乘上${\phi}_n^*(x)$和權函數${\rho}$後，在區間$[a,b]$內積分，就可以得到$c_n={\int}_a^bf(x){\phi}_n^*(x)dx$。於是，我們就可以用這個方式來比較簡單的(？)求導ODE；至少，對於同一個$L$和同樣的邊界條件下，我們可以用同一組特徵函數來積分得到解答
$y(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(\int_a^b{\rho}f(z)\phi_n^*(z)dz)\phi_n(x)$。那麼，什麼樣的微分方程，能保證我們一定可以用這個方法求解呢？或者說，什麼樣的微分方程能保證有完備的解函數集來讓我們快樂的展開函數呢？這種時候，就該先回過頭來找自伴隨的微分算子。(就像線性代數的厄米特矩陣(Hermitian matrix))
史特姆-萊歐維爾理論(Sturm-Liouville theory)
在物理上，我們遇到的微分方程幾乎不會超過二階，所以這邊我們就只探討二階的微分算子
$$L(x)=p_0(x)\frac{d^2}{dx}+p_1\frac{d}{dx}+p_2$$
事實上，如果這個微分算子能表示成$L(x)=\frac{d}{dx}[p_0(x)\frac{d}{dx}]+p_2(x)$(基本上任意的二階微分算子都可以靠積分因子來變成這個形式)，它就是自伴隨的。再加上合適的邊界條件，就能產生正交的特徵函數集(正交性是完備性的一個必要條件)：
首先，我們由特徵函數定義，可以列出
$$\frac{d}{dx}[p_0\frac{d}{dx}\phi_n]+p_2\phi_n=\lambda_n\phi_n$$
$$\frac{d}{dx}[p_0\frac{d}{dx}\phi_m^*]+p_2\phi_m^*=\lambda_n\phi_m^*$$
將第一條乘上${\phi}_m^*$，第二條乘上${\phi}_n$，然後都在區間$[a,b]$裡積分，相減過後可以得到(假設我們只有實特徵值，然後用上分部積分)
$$(\lambda_n-\lambda_m)\int_a^b\rho\phi_n\phi_m^*dx$$
$$=p_0(\frac{d\phi_n}{dx}\phi_m^*-\frac{d\phi_m^*}{dx}\phi_n){\mid}^b_a$$
式子右邊是只跟邊界條件有關的一坨東東，如果它消失掉的話，我們就可以有正交的函數集
$n\neq m \Rightarrow \int_a^b\rho\phi_n\phi_m^*dx$。
到這裡，眼尖的人類就會想到：欸，啊這樣我們只知道函數正交，那要什麼條件確定它是完備的呢？這邊就比較麻煩，還需要讓這個問題(又稱作Sturm-Liouville problem)的係數和邊界條件滿足某些性質，變成固有系統(proper system)。但因為筆者對這邊比較不瞭解，所以還是別誤人子弟好，那些條件維基上大概也查得到。只要知道，我們在物理課本看到的二階微方問題，基本上都是固有(proper)的，並且它們對應到的解函數集，都是正交且完備的。接下來給點例子，就是文章題目上的特殊函數(Special function)。
特殊函數(Special function)
所以說，我們需要那些醜醜的特殊函數的原因，主要是為了讓我們在限定的邊界條件下，可以用它們來展開函數，並有系統的求解微方。畢竟，它們都是從Sturm-Liouville problem 生出來的完備函數集。因為筆者懶，所以我們就看一點點例子就好。
貝索函數(Bessel function)
貝索函數，是一個你在解柱座標下的拉普拉斯方程(Laplace equation)${\nabla}^2 u=0$會遇到的醜東西。經過變數分離$u(r,\theta,z)=R(r)T(\theta)Z(z)$，會得到三條式子
$$Z''(z)-\lambda Z(z)=0$$
$$T''(\theta)+n^2 T(\theta)=0 (n\in \mathbb{N})$$
$$r^2R''(r)+rR'(r)+(\lambda r^2-n^2)R=0$$
上面兩條比較基本，並且$n^2 (n\in \mathbb{N})$的出現是為了讓$T(\theta)=T(\theta+2n\pi)$。我們專注在第三條就好。直接整條除$r$，就能變成Sturm-Liouville 形式
$$-\frac{d}{dr}(rR'(r))+\frac{n^2}{r}R(r)=\lambda rR(r)$$
其中$p_0=-r$，$p_2=\frac{n^2}{r}$，$\rho = r$。要得到這個微分方程的通解有一點麻煩，而且還沒辦法表示成一個簡單的函數。它的解會是
$J_n(\lambda r)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma (m+n+1)}(\frac{\lambda r}{2})^{2m+n}$
怎麼得到它不是我們這次的重點，但現在，你至少能一眼看出，只要給它一定的邊界條件，就能拿它當作展開函數的工具。像是鎖定討論範圍在區間$[0,R]$，就會得到特徵值為$\lambda_{n,k}=\frac{\rho_{n,k}}{R}$ (其中 $\rho_{n,k}$ 是 $J_n(\rho)$ 的第$k$個零根)，
$R_k(r)=J_n(\frac{{\rho}_{n,k}}{R}r)$的特徵函數集。
這次文章的內容就到這裡好了，打完貝索函數就開始後悔沒有拿勒讓得函數當例子，不過沒關係，前面沒提到特殊函數的內容還比較有趣(X 題目應該要改成特徵問題。
作者介紹
劉芷辰(爆肝貓)
曾參加2019的APhO，然後就沒有然後了，還被COVID-19搞到QAQ
是一隻非常喜歡物理的貓，現在是台大物理的大一新生，菜味很重請見諒。
加簽好煩，失眠好煩