歡迎回來，讓我們繼續有關對稱性的討論。
上次 我們對對稱性究竟是什麼樣的概念有了基本的認識，也舉了對稱性在物理當中的許多例子，這次筆者將從大家熟悉的狹義相對論出發，介紹對稱性是如何送給我們一個美麗的重力理論。如果是對狹義相對論基本內容還不熟悉的讀者，可以參考
王維恩 與
姚勁宇 非常棒的介紹。
參考系與相對性原理 物理事件的描述是相對的，我們必須先選定一個參考系。所謂參考系是遍佈時空的觀察者（例如自動化的尺和時鐘），選擇一個參考系在數學上來說是指定一個座標系統。我們依賴座標來描述物理，但相信物理定律與座標的選擇無關，或說物理定律在所有參考系有相同的形式，這稱為相對性原理(principle of relativity)。
狹義相對論的對稱性 在愛因斯坦於1905年提出狹義相對論之後，龐加萊(Henri Poincaré)與閔考斯基(Hermann Minkowski)等人逐步揭露了狹義相對論的幾何性質。這種幾何的語言對我們後續的討論至關重要，因此請讓筆者花點時間說明一下。在先前的文章中我們知道一個典型的勞倫茲轉換長得像這樣$$ ct' = \gamma (ct - \beta x) \\ x' = \gamma (x - \beta ct) \\ y' = y \\ z' = z$$它告訴我們相對速度為$v = \beta c$的兩慣性座標系時空座標之間的關係。龐加萊指出在勞倫茲轉換下，我們有一個座標不變量（讀者不妨驗算看看！）$$ x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - (ct')^2 $$數學上勞倫茲轉換是個將四維向量$(ct,x,y,z)$轉換至$(ct',x',y',z')$的線性映射。在座標轉換式當中我們可以看到若將時間$ct$與空間$x$交換後方程式依舊保持相同的形式，時間與空間似乎沒有多大的不同，這啟發了我們賦予時間空間同等地位。上述的座標不變量定義了所謂的勞倫茲對稱性：所有滿足上式的座標轉換在數學上會構成一個群，稱為勞倫茲群，而各種相對論效應都是我們要求這個對稱性的結果。例如：想像一道光由原點發出，那麼要求上述的平方和在各個座標系都相同就告訴了我們光速不變。事實上我們可以從這個對稱性出發，推導出勞倫茲轉換；而閔考斯基也進一步以彰顯勞倫茲對稱性的方式重新寫下馬克士威方程，指出電磁學定律的確在各個座標系有相同的形式，從這樣的角度看來閔考斯基引入四維時空(spacetime)的概念再自然不過了。為了讓狹義相對論的幾何性質更加清晰，我們進一步考慮到時空是均勻的，可以任意選擇座標原點，於是上式可以更一般地寫成$$ dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2 dt^2 = dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 - c^2 dt'^2 $$很有意思！現在我們可以將這個結果詮釋成：我們在四維時空中定義一個「距離」$$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2 dt^2 $$而這個距離(Minkowski distance)與所選擇的座標系統無關（想像三維空間的座標旋轉，保持向量的長度不變）。這個在座標轉換下不變的性質就是所謂的龐加萊對稱性，而狹義相對論的物理基本上就包含在上述對稱性中。
前面我們以幾何的語言闡明了狹義相對論的物理，也就是賦予了各個慣性座標系同等地位的龐加萊對稱性。相對性原理驅使我們寫下與座標選擇無關的物理定律，然而在狹義相對論中慣性座標系擁有特殊的地位。尋找放諸四海皆準的物理定律是我們的目標，但要完成它還有一段路要走。
擴充對稱性 既然想找到在任意座標系都有相同形式的物理定律，那就讓我們更有野心地將狹義相對論的勞倫茲對稱性擴充成更大的對稱性吧。在廣義相對論中，前述對稱性被推廣至所謂廣義協變性(general covariance)，是指在廣義的座標變換(diffeomorphism)下物理定律的形式保持不變。這反映了「座標並非先驗地存在自然中」的精神：座標只是為了描述物理的人造產物，因此不應該在物理定律中擁有實質意義。換言之所有的座標系都應該被賦予相同的地位，包含慣性座標系與非慣性座標系。
數學上，微分幾何(differential geometry)的研究讓這樣的想法得以實現，我們認為時空是一個流形(spacetime manifold)。在這裡我們不討論流形的嚴謹定義，只需要知道一個流形的局部都長得像歐幾里德空間，這代表我們能夠為時空定義座標，並在上面操作我們熟悉的微積分，但流形本身是抽象、獨立於座標選擇的存在。在有了這樣一個具有良好性質的空間之後，我們還可以為它一層一層加上額外結構：在上面研究向量場、距離與空間曲率等等。物理學家特別關注的黎曼流形(Riemannian manifold)，上面任意兩點的距離都被一個對稱的度規張量(metric tensor)$g$描述，其分量決定了在一個點附近的微小座標改變量$dx^i$所對應的距離：$$ ds^2 = \sum_{i,j} g_{i,j} dx^i dx^j $$黎曼幾何告訴我們在給定了任意兩點間的距離後，流形的幾何性質基本上就被確定了，且這些幾何性質能以不依賴座標(coordinate-free)的方式表示，反映上面的距離在任何座標系統中都是一樣的。讀者是不是馬上想到我們前面提到的時空間距呢？的確，狹義相對論考慮的Minkowski space是一種允許長度平方為負的偽黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)，上面的度規在慣性座標系中可以表示為$g_{\mu\nu} = diag\{-1,1,1,1\}$，而不同座標計算得到的時空間距相同（$\mu=0,1,2,3$是時空座標的編號，對應到一個時間維度與三個空間維度）。
回到剛才的問題：如果現在考慮的是任意的座標轉換，物理定律該如何修正？由於廣義協變性的要求，我們想把物理定律寫成純幾何的形式，讓我們以慣性定律作為例子。想必大家都對狹義相對論中的慣性定律十分熟悉：自由粒子加速度從一個慣性座標系$S$看來為零*(註)$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = 0 $$而另外一個慣性座標系$S'$也會同意這個定律成立$$ \frac{d^2 x'^\mu}{d\tau^2} = 0 $$目前為止還不錯，慣性定律在不同的慣性座標系中都有相同的形式。（當然這也不意外，畢竟這就是我們怎麼定義慣性座標系的，而且之前的文章就曾從這點出發搭配光速恆定推出勞倫茲轉換。）但現在如果我們考慮的是一個非慣性座標系$S''$，那麼在慣性系$S$當中的慣性運動從$S''$看來就不再是等速運動：$$ \frac{d^2 x''^\mu}{d\tau^2} \neq 0 $$顯然這樣的慣性定律描述方式不具有廣義協變性！要解決這個問題，一個簡單的做法是將原本跟座標選擇有關的「加速度為零」改為跟座標選擇無關的「自由粒子走測地線」。所謂測地線(geodesics)是指距離為平穩值（例如最短或最長）的路徑$$ \delta \int \sqrt{|g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu|} = 0$$數學上，變分法告訴我們測地線滿足的微分方程會是$$ \frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\rho \lambda} \frac{dx^\rho}{d \tau} \frac{dx^\lambda}{d\tau} = 0 $$其中$\Gamma$是Christoffel symbol，牽涉度規張量對座標的導數。這個geodesic equation滿足廣義協變性，我們在任意座標系都可以利用這條方程式求出慣性運動的軌跡！而在慣性座標系這個特例中$\Gamma=0$，方程式退化成之前的樣子。一直以來有狹義相對論可否處理加速座標系的辯論，現在我們看得很清楚了：雖然座標的選擇不同，但我們依舊考慮相同的空間(Minkowski space)，因此只要將物理定律改為純幾何的形式，不需要引入額外的物理就可以處理加速座標系。
一生中最快樂的想法 古典力學中，慣性座標系是那些自由粒子不會有加速度的座標系，但這樣的定義有個嚴重的問題，就是我們該怎麼定義自由粒子？愛因斯坦曾提到
「慣性原理的弱點在於它含有這樣的一種循環論證：如果有一物體離開別的物體都足夠遠，那麼它運動起來就沒有加速度；而只是由於它運動起來沒有加速度，我們才知道它離開別的物體足夠遠。」
顯然先前的定義方式在邏輯上明顯行不通，該怎麼辦呢？對這個問題的思考正是從狹義相對論邁向廣義相對論的重要里程碑，即1911年愛因斯坦首次提出的等效原理(equivalence principle)：一個自由下落且足夠小的實驗室中的物理定律與其所在時空位置與速度無關。
想像一個自由下落電梯，當中的人是感受不到自己的重量的，而且也無法用任何實驗確定自己究竟是處在自由下落的電梯或太空中漂浮的火箭裡—他們觀察、歸納出的物理定律是相同的。另一個說法則是加速火箭中的人會覺得自己處在地表的均勻重力場當中。這樣的想法在當時也並不陌生，但愛因斯坦的洞見在於認知到將相對論推廣到加速座標系能夠連帶解決重力問題！
等效原理。加速火箭中的人感受到的假想力有如地表的重力一般真實。
「這個突破有一天突然出現，我就坐在柏恩辦公室的椅子上，突然間一個念頭冒了出來，假設有個人自由掉落，這個人將無法感受到自己的重量，這讓我嚇了一跳，這個思想實驗對我產生很深的影響，而這也導出了重力論。」
「我繼續想下去，一個落下的人是在等加速運動的狀態，所以這個人的感受是發生在他自己的座標裡，於是我決定把自己的相對論理論推廣到有加速度的情況，我認為如此能同時解決重力問題！」
VIDEO
再讓我們接著想像某參考系中的加速粒子：若不同荷質比的粒子加速度不同，則我們能推測出粒子的加速度來自電磁力；但如果所考慮的粒子皆為電中性，那麼我們無法判斷到底是因為座標系本身在加速，或是存在一個均勻重力場。也就是說「因為重力產生的加速度」這個概念根本無法被良好定義：古典力學的慣性座標系定義面臨困難，因為所有東西都會受到重力。但如果我們換個想法呢？既然我們無法區分自由下落的電梯與深空中的火箭，何不乾脆說他們都是慣性座標系；既然均勻重力場與加速座標系的假想力場無法區分，何不乾脆說重力不是一種力。這樣一來，慣性座標系的概念就能被拯救：我們可以定義慣性座標系就是那些在重力影響下自由下落的座標系。重力不是力，所有下落電梯都是慣性座標系！
等效原理迫使我們修改慣性座標系的定義；不僅如此，我們還必須同時拋棄狹義相對論當中慣性座標系可以延伸到無窮遠的想法。左下的圖很好地展示了這點：一個自由下落的觀察者A建立了一個以自己為原點往外延伸的慣性座標系，那麼因為重力的非均勻性，另外一個自由下落的觀察者B在A看來就會具有加速度，但慣性座標系之間有相對加速度可不是我們希望的。也就是說由於重力，慣性座標系只能是局域的。
既然在重力影響下自由下落的觀察者認為自己不斷進行慣性運動，那麼如前面所討論，他在時空中的軌跡應該會是一條測地線。如右下圖所示，考慮兩個很靠近的物體在遠處星球產生的重力影響下自由下落，剛開始兩者的速度平行，後來因為星球重力影響不斷靠近，如圖所示。兩條平行的測地線不斷靠近的現象在數學上正是空間曲率的展現（想像地表的兩條經線一直保持平行，卻在往北極走的時候不斷靠近，這告訴我們地球是圓的！），這種曲率造成的幾何效應無法透過座標轉換消除，或說可以用座標無關的方式表示，因此符合我們對物理定律的期待。原來我們一直在考慮的重力是時空的曲率！
最後一哩路 廣義相對論將重力視為時空流形彎曲的展現，能量與動量的分布影響度規場，而自由粒子沿著彎曲流形上的測地線進行慣性運動。等效原理在這樣的架構下，則是告訴我們時空區域一點附近可用相應的局域慣性系描述，而狹義相對論在其局域慣性系中成立，此時物理定律有最簡單的形式（例如測地線就是等速直線運動）。
聽起來十分可行！要完成我們的重力理論，剩下的就是要將能量動量如何影響時空幾何給搞清楚。聽起來是個簡單的任務，但愛因斯坦在意識到等效原理後足足花了八年時間、經過多次嘗試錯誤，才終於在1915年年底寫下正確的場方程：$$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$現在我們稱它愛因斯坦方程（沒錯，講到愛因斯坦方程，物理學家第一個想到的不是有名的$E=mc^2$，而是連結時空幾何與能量分布的這條方程式）。等號的左手邊稱為愛因斯坦張量(Einstein tensor)，是一個告訴我們時空如何彎曲的張量，與時空度規有關；右手邊的$G$是牛頓的萬有引力常數，而$T_{\mu\nu}$則是告訴我們能量動量的分布(energy-momentum tensor)。
時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲。 ── 惠勒(John Wheeler)
愛因斯坦方程是一群二階非線性偏微分方程，因此在求解上十分困難，只有少數情況才能得到精確解。愛因斯坦本人就在提出場方程後考慮了許多近似解，這些廣義相對論最初的預言也獲得了極大的成功，例如完美地解釋了水星進動與太陽附近的光線偏折。
在愛因斯坦想重力想破頭的1915年，另外一位數學家希爾伯特(David Hilbert)也在與其競爭，兩人幾乎同時獨立推導出正確的場方程。相對於愛因斯坦，希爾伯特的推導更加現代，因為其做法彰顯了理論背後的對稱性。希爾伯特假設重力場的解會使一個作用量達到極小，但這個作用量究竟長什麼樣呢？這時對稱性幫了我們一個大忙：為了使場方程具有廣義協變性，我們希望作用量在任意座標轉換下保持不變。由於前面預期重力跟流形的曲率有關，再加上系統穩定性的考量（只牽涉度規及其一階導數），數學上我們發現作用量最合適的候選人就是純量曲率$R$的體積積分：$$S_{G} = \int d^4x \sqrt{|g|} \frac{R}{2\kappa} $$其中$\kappa$是一個常數、$\sqrt{|g|}d^4x$是一個在座標轉換下保持不變的體積單元，如此一來整個作用量表現出清晰的時空對稱性。此時若再考慮物質部分的貢獻，希爾伯特就能利用變分法得到與愛因斯坦一模一樣的結果。
尾聲 愛因斯坦的相對論被譽為是物理學中最美麗的理論，不只是因為它優雅地將古典物理修正為一個自洽的體系，更因為它以最簡單漂亮的方式展示了對稱性是如何引領我們了解物理現象的本質。我們的出發點—相對性原理—再單純不過，卻充滿野心與發展性，它引導了我們將物理定律以不依賴座標的形式寫下；等效原理也讓我們認知到重力是個幾何問題，於是在對稱性的約束下，統御重力現象的方程式被幾乎唯一地確定下來。值得一提的是，希爾伯特從對稱性出發建構理論（寫下作用量）的這種做法有著無與倫比的威力，而且重力作為一個由對稱性得到的交互作用，對理論物理後續的發展產生巨大影響。相對論問世後，量子理論精彩的旅程才正要開始，究竟對稱性會與量子力學碰撞是什麼樣的火花呢？且讓我們期待。
*(註) 這裡的$\tau$稱為原時(proper time)，是粒子所感受到的時間。
作者介紹
魚
姜理元，綽號魚骨，台大物理系學生。
高涌泉教授與PK的粉絲。
