時空與幾何（一）

    繼第一篇說明理論物理透過建立在良好定義的數學架構下，成為脫離「哲學」的學問；第二篇以相對性原理作為第一原理 (first principle) ，描述慣性座標系的時空。接著的第三篇要從什麼主題下手猶豫了很久，最後決定為了之後不要再繼續搶王維恩的相對論專欄，趕快一次把相對論相關的主題都寫完。

    狹義相對論只闡述了慣性座標系的時空，愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 自己也意識到他需要的是一個不依賴任何座標系的理論，而從狹義相對論的出現到完成這樣一個不依賴座標系的相對性理論花了超過十年的光陰，這個理論就是廣義相對論。

注：這篇文章跟魚骨的〈對稱性：從狹義相對論到廣義相對論〉一文內容大幅度重疊，所以我將這篇文章大部分的篇幅留給數學模型，其餘部分我就不贅述。

    如魚骨的文章中〈一生中最快樂的想法〉的段落所述，愛因斯坦於1911年發現通往他目標的理論所需要的就是利用等效原理將重力引入相對性原理。我們整理一下目標的理論需要有的性質：滿足一開始希望的獨立於座標系的選擇以及根據等效原理的局部可視為慣性座標系。愛因斯坦一開始覺得他需要用的是高斯 (Carl Friedrich Gauß，1777-1855) 的曲面論，後來發現黎曼 (Bernhard Riemann，1826-1866) 開創的黎曼幾何已經建立了更完備的數學架構，更適合做為廣義相對論的數學基礎。

    高斯的曲面論一開始是因為土地測量所需而提出的，所以討論的二維物件是被嵌入 (embed) 三維歐氏空間(可以複習上一篇文章〈慣性座標系與相對性原理〉)中的情形；而黎曼幾何討論的是更廣義、被稱為流形 (manifold) 的物件。在廣義相對論的描述下，重力就是時空彎曲的體現，物體會沿著時空的測地線 (geodesic) 移動；在平直空間中，物體走時空測地線就是指在進行等速直線運動。本文接下來會介紹何謂測地線，而這個專欄之後的〈時空與幾何（二）〉會接續介紹曲率 (curvature) 。

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    流形的概念是希望能夠用我們熟悉的歐氏空間來描述並非歐氏空間的空間，比方說下圖的馬鞍面雖然不是歐氏空間，但可以造出一個它與$\mathbb{R}^2$之間的同胚 (homeomorphism) 。

圖：馬鞍面

注：同胚 (homeomorphism) 是指一個一對一滿射的連續映射，且反函數也是連續的。

    但也有可能發生像下圖的球面一樣不是同胚到歐氏空間的情形，這時我們就需要將球面用幾個開集覆蓋，每個開集各自和$\mathbb{R}^2$同胚。

圖：球面和其中一個chart

    當然，我們希望開集重疊的部分是自洽的，也可以理解成同胚映射是將空間局部用歐氏空間「座標化」，而重疊部分的同胚映射滿足某種「座標變換」。所以我們將流形定義如下：

一個$n$維流形$X$是一個豪斯多夫空間 (Hausdorff space) 上賦予一組charts。一組charts是指一組$X$的開覆蓋(open cover)$\{U_i\}_{i\in I}$ 和同胚映射(homeomorphisms)$\varphi_i:\mathbb{R}^n\to U_i$，且對任何$i,j\in I$，$\varphi_j^{-1}\circ\varphi_i|_{\varphi_i^{-1} (U_i\cap U_j)}: \varphi_i^{-1}(U_i\cap U_j)\to\varphi_i^{-1}(U_i\cap U_j)$ 是一個微分同胚(differmorphism)，也就是它是同胚且它和他的逆映射都是光滑的($C^\infty$，可微無窮次)。

注：豪斯多夫空間 (Hausdorff space) 是一個拓樸空間 (topological space) $X$滿足任何$x,y\in X$，都存在各自的鄰域 (open neighborhood，指包含該點的開集) $U,V$使得$U\cap V=\emptyset$。簡單來說就是任何兩點都可用開集分開，所以也被稱為分離空間 (separated space) 。

    接著我們想要在流形上定距離。在原本歐氏空間中的一條參數曲線$\alpha(t)$($t_1<t<t_2$)的長度應該是$\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\langle\frac{d\alpha}{dt},\frac{d\alpha}{dt}\rangle}dt$，其中內積$\langle\cdot,\cdot\rangle$是一個正定 (definite positive) 的非退化雙線性型 (non-degenerate bilinear form) ，所以內積可以寫成$\langle x,y\rangle=x^Tgy$，而$g$被稱為度規 (metric) 、是一個正定$n\times n$矩陣。我們也可以用分量將積分改寫成$\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}dt$。

    要推廣到流形上就是在每個chart $\{U_\alpha,\varphi_\alpha\}$上各自定義度規$g_\alpha$，同時需確保charts重疊的部分距離定法要一樣。定義$\varphi_{\alpha\beta}=\varphi_\beta^{-1}\circ\varphi_\alpha|_{\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)}$，距離一樣就表示對$p\in\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$，${g_\alpha}_{ij}(p)dx_\alpha^i(p)dx_\alpha^j(p)= {g_\beta}_{kl}(\varphi_{\alpha\beta}(p))dx_\beta^k(\varphi_{\alpha\beta}(p))dx_\beta^l(\varphi_{\alpha\beta}(p))={g_\beta}_{kl}(\varphi_{\alpha\beta}(p))\frac{\partial x_\beta^k}{\partial x_\alpha^i}(p) \frac{\partial x_\beta^l}{\partial x_\alpha^j}(p) dx_\alpha^i(p)dx_\alpha^j(p)= {g_\beta}_{kl}(\varphi_{\alpha\beta}(p)){{\varphi’_{\alpha\beta}}^k}_i(p){{\varphi’_{\alpha\beta}}^l}_j(p)dx_\alpha^i(p)dx_\alpha^j(p)$，所以${g_\alpha}_{ij}(p)={g_\beta}_{kl}(\varphi_{\alpha\beta}(p)){{\varphi’_{\alpha\beta}}^k}_i(p){{\varphi’_{\alpha\beta}}^l}_j(p)= {g_\beta}_{kl}(\varphi_{\alpha\beta}(p))\frac{\partial x_\beta^k}{\partial x_\alpha^i}(p)\frac{\partial x_\beta^l}{\partial x_\alpha^j}(p)$。

注：事實上度規是一種張量 (tensor) ，需要引入切空間 (tangent space) 之類的，不過這部分的語言之後的文章再介紹。

    依照上述定義度規的光滑流形就是黎曼流形 (Riemann manifold) 。最後介紹一下測地線，測地線定義為兩點之間的最短距離，也就是給定流形$X$中兩點，能讓$\int_C\sqrt{g_{ij}dx^idx^j}$最小的路徑$C$。

    對黎曼流形的基本設定有初步的了解之後，就能接著進一步討論曲率等題材了……

……雖然保守估計〈時空與幾何（二）〉可能要等半年，這之前會先討論一下其他主題。

作者介紹

姚勁宇

曾參加2019年的APhO跟IPhO。

物理跟數學都不太好，加在一起勉勉強強還可以(嗎？)，所以在物理的部落格寫了一個數學的專欄。